在《消失的初恋》这部作品中，桥下在借给青木橡皮擦时， 无意中写下了同班同学井田的名字。这个小小的误会和秘密成为了剧情发展的重要线索，引发了青木、桥下和井田之间一系列的情感纠葛和误会。

具体来说，青木在借到橡皮擦后，发现上面写着井田的名字，误以为桥下喜欢井田。而井田在看到橡皮擦后，为了帮助桥下守住她暗恋的秘密，也选择了帮助青木隐瞒这个误会。这个误会和谎言虽然最终被揭开，但在整个过程中，他们的关系发生了微妙的变化，青木和桥下的感情也在这个过程中逐渐升温。

因此，桥下在橡皮擦上写井田的名字，不仅是一个误会，更是推动剧情发展的重要情节，展现了青春期的懵懂爱情和成长过程中的种种困惑与挣扎。