求函数的拐点和驻点通常涉及对函数进行求导，并分析导数的性质。以下是具体步骤：

求驻点

一阶导数：首先求出函数的一阶导数 \（ f'（x） \）。

令一阶导数为零：解方程 \（ f'（x） = 0 \） 以找到驻点。这些点是函数可能取得极值的点。

求拐点

二阶导数：对一阶导数 \（ f'（x） \） 再次求导，得到二阶导数 \（ f''（x） \）。

令二阶导数为零：解方程 \（ f''（x） = 0 \） 以找到拐点的横坐标。这些点可能是函数凹凸性改变的点。

判断符号：对于每个二阶导数为零的点，检查其左右两侧的二阶导数符号是否相反。如果相反，则该点为函数的拐点。

示例

假设我们有一个函数 \（ f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x \）：

求一阶导数

\[

f'（x） = \frac{d}{dx}（x^3 - 3x^2 + 2x） = 3x^2 - 6x + 2

\]

求驻点

\[

3x^2 - 6x + 2 = 0

\]

解这个二次方程，得到：

\[

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

\]

所以，驻点是 \（ x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \） 和 \（ x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \）。

求二阶导数

\[

f''（x） = \frac{d}{dx}（3x^2 - 6x + 2） = 6x - 6

\]

求拐点

\[

6x - 6 = 0 \implies x = 1

\]

检查 \（ x = 1 \） 左右两侧的二阶导数符号：

当 \（ x < 1 \） 时， \（ f''（x） = 6（1） - 6 = 0 \），符号不变。

当 \（ x > 1 \） 时， \（ f''（x） = 6（1） - 6 = 0 \），符号不变。

因此，\（ x = 1 \） 不是拐点。

综上所述，函数 \（ f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x \） 没有驻点或拐点。

建议

在实际操作中，可能需要使用数值方法或图形工具来辅助判断驻点和拐点的存在性和位置，特别是当导数方程较复杂时。

对于多变量函数，求导和判断的过程类似，但需要处理多个一阶和二阶导数。