求函数拐点的步骤如下：

求一阶导数

首先，对函数 $f（x）$ 求一阶导数 $f'（x）$。一阶导数描述了函数在某一点的变化率。

求二阶导数

对一阶导数 $f'（x）$ 再次求导，得到二阶导数 $f''（x）$。二阶导数描述了函数变化率的速率，即函数的凹凸性。

解方程

解方程 $f''（x） = 0$，找出所有使二阶导数为零的点。这些点是潜在的拐点。

判断符号变化

对于每个使二阶导数为零的点，检查其左右两侧的二阶导数符号是否相反。如果符号相反，则该点为函数的拐点；如果符号相同，则该点不是拐点。

考虑二阶导数不存在的情况

有些函数的二阶导数在某些点不存在，例如含有绝对值或分段函数。这时，需要仔细分析函数在这些点的左右极限，判断函数凹凸性的变化。

结合函数图像验证

将结果与函数图像进行比对，以确保结果的正确性。通过图像可以直观地看到函数的凹凸性变化，从而验证拐点的判断是否正确。

示例

假设我们有一个简单的函数 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 4$：

求一阶导数

$$

f'(x) = 3x^2 - 6x

$$

求二阶导数

$$

f''(x) = 6x - 6

$$

解方程

$$

6x - 6 = 0 \implies x = 1

$$

判断符号变化

当 $x < 1$ 时，$f''（x） = 6x - 6 < 0$，函数是凸的。

当 $x > 1$ 时，$f''（x） = 6x - 6 > 0$，函数是凹的。

因此，$x = 1$ 是函数的拐点。

通过以上步骤，我们可以确定 $x = 1$ 是函数 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 4$ 的拐点。