鹤壁市的老区主要包括 山城区和鹤山区。具体来说：

山城区：

是鹤壁市的老城区，位于鹤壁市中部，是鹤壁市委、市政府的所在地。山城区在历史上曾是一座古城，战国七雄之赵国初期曾在山城区建立首都中牟。山城区还是河南省的重工业基地，煤炭、电力、化工、电子、仪器仪表、陶瓷、机械制造、纺织、食品、军事工业发达。

鹤山区：

也是鹤壁市的一个重要区域，位于鹤壁市北部，与山城区相邻。鹤山区在历史上也曾是一个重要的行政区域，市政府曾三次南迁，最后一次南迁到大赉店（今淇滨区）。

因此，鹤壁的老区包括山城区和鹤山区，这两个区域共同构成了鹤壁市的老城区。