要证明 $\lim_{n \to \infty} a^n = \infty$ 对于 $a > 1$，我们可以使用 $\epsilon-N$ 语言来证明。具体步骤如下：

选择任意正数 $\epsilon$

任意选择一个正数 $\epsilon$。

找到对应的 $N$

我们需要找到一个正整数 $N$，使得对于所有 $n \geq N$，有 $a^n > \epsilon$。

证明 $N$ 的存在性

由于 $a > 1$，我们可以取 $N = \left\lceil \frac{\log a}{\log \epsilon} \right\rceil$，其中 $\left\lceil x \right\rceil$ 表示向上取整。

验证不等式

对于所有 $n \geq N$，我们有 $a^n > \epsilon$。这是因为 $a^N = a^{\left\lceil \frac{\log a}{\log \epsilon} \right\rceil} \geq a^{\frac{\log a}{\log \epsilon}} = e^{\frac{\log a \cdot \log a}{\log \epsilon}} = e^{\log a} = a > \epsilon$。

因此，对于任意正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得对于所有 $n \geq N$，有 $a^n > \epsilon$。这就证明了 $\lim_{n \to \infty} a^n = \infty$。

建议

在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的 $\epsilon$ 值，从而找到相应的 $N$ 值。

这个证明过程利用了指数函数的增长性质，即当底数大于1时，指数函数随着指数的增大而迅速增大。