使用x趋于无穷的极限定义法证明如下：

直观定义

极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在一个正数N，使得当x > N时，|f（x） - L| < ε。这里L是极限值。

证明保号性

假设极限L > 0。

根据极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在一个正数N，使得当x > N时，|f（x） - L| < ε。

特别地，取ε = L/2，则存在一个正数N，使得当x > N时，|f（x） - L| < L/2。

这意味着当x > N时，f（x） > L - L/2 = L/2 > 0。

因此，当x的绝对值足够大时，f（x）也大于零，从而证明了极限的保号性。

具体例子

例如，证明lim（x→∞） 1/x = 0：

对于任意给定的正数ε，取N = 1/ε，则当x > N时，|1/x - 0| = 1/x < ε。

这符合极限的定义，因此lim（x→∞） 1/x = 0。

反例

例如，考虑函数sin（x）/x：

对于任意给定的正数ε，取N = 1/ε，则当x > N时，|sin（x）/x - 0| = |sin（x）/x| ≤ 1/x < ε。

这符合极限的定义，因此lim（x→∞） sin（x）/x = 0。

矛盾反例

假设lim（x→∞） sin（x） 存在且不为0，则存在一个子序列{x_n}，使得lim（x_n） = L ≠ 0。

但是，可以构造另一个子序列{y_n}，使得lim（y_n） = 1。

这与极限存在且唯一性的海涅定理矛盾，因此lim（x→∞） sin（x） 不存在。

通过上述方法，可以使用x趋于无穷的极限定义法来证明各种极限问题。