使用ε-δ语言证明数学定理，通常涉及以下步骤：

定义序列或函数的极限

假设我们有一个序列 $\{a_n\}$ 或一个函数 $f（x）$，我们想要证明它收敛于某个极限 $L$。

选择任意小的正数 ε

选择一个任意小的正数 $\epsilon$，这个数代表了我们希望序列或函数与极限 $L$ 之间的差距可以有多小。

找到对应的 δ

根据极限的定义，找到一个正数 $\delta$，使得当序列或函数的项或点与极限 $L$ 的差距小于 $\delta$ 时，这个差距与 $\epsilon$ 的比值小于 1。即，如果 $|a_n - L| < \delta$，则 $\frac{|a_n - L|}{\epsilon} < 1$。

验证条件

对于序列中的每一项 $a_n$ 或函数中的每个点 $x$，如果它们与极限 $L$ 的差距小于 $\delta$，那么它们与极限的差距与 $\epsilon$ 的比值也小于 1。

得出结论

通过上述步骤，我们可以证明对于任意给定的 $\epsilon$，总存在一个 $\delta$，使得当序列或函数的项或点与极限 $L$ 的差距小于 $\delta$ 时，这个差距与 $\epsilon$ 的比值小于 1。这就完成了极限的定义证明。

以数列的极限为例，假设我们想要证明数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$，我们可以按照以下步骤进行证明：

第一步：假设数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$。

第二步：对于任意给定的正数 $\epsilon$，我们需要找到一个正数 $\delta$，使得当 $n > N$（其中 $N$ 是某个确定的数）时，有 $|a_n - L| < \delta$。

第三步：根据数列收敛的定义，我们可以找到这样的 $\delta$。

第四步：因此，对于任意给定的 $\epsilon$，总存在一个 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|a_n - L| < \delta$，从而证明了数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$。

在实际的数学证明中，可能需要更复杂的分析技巧来找到合适的 $\delta$，这可能涉及到对数列或函数的进一步性质和操作。ε-δ证明的关键在于将极限的数学定义转化为一个可以通过逻辑推理和数学操作来验证的形式。

对于更具体的定理，比如数列的八大定理，每个定理的证明过程都会有所不同，需要根据定理的具体内容来选择合适的 ε 和 δ，并通过逻辑推理来展示满足极限定义的条件。由于问题中没有提供具体的定理内容，这里无法给出更详细的证明过程。如果需要证明某个具体的定理，请提供定理的详细表述，以便进行更精确的证明。